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05年广东高考数学真题及答案(2006理科数学全国高考试题解析)

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发布于 2022-08-09 02:00
来源:顾学网

大家好!本文和大家分享一道2006年广东高考数学真题。这是2006年广东高考理科数学的第一道解答题,难度不大,综合考查了三角函数的诱导公式、辅助角公式、正弦型三角函数的性质、二倍角公式等知识。如果当年这道题都不会,那么考大学就难了。

先看第一小问:求函数的最小正周期。

要求三角函数的最小正周期,我们需要先将这个三角函数化为“同一个角、同一个函数名称的一次函数”的形式。题干中给出的解析式虽然是同函数名称和一次,但是出现了两个角,所以我们需要利用诱导公式将sin(x+π/2)进行转化,即sin(x+π/2)=cosx。

这样处理后,角变成相同了,但是函数的名称又不同了,出现了“同角异名”的形式,所以需要再用辅助角公式(即asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+φ),其中tanφ=b/a)进行变换,从而得到f(x)=√2sin(x+π/4)。最后根据正弦型函数的性质可知,最小正周期为T=2π/|ω|=2π/1=2π。

再看第二小问:求函数的最值。

第一小问中已经将函数变换为f(x)=√2sin(x+π/4),根据正弦型函数的性质可知,-1≤sin(x+π/4)≤1,所以-√2≤f(x)≤√2,即f(x)的最大值为√2,最小值为-√2。

最后看第三小问:求sin2α。

由f(α)=3/4可得:sinα+sin(α+π/2)=3/4,即sinα+cosα=3/4。又因为sin2α=2sinαcosα,于是有些同学就想先求出sinα和cosα的值再代入二倍角公式。这样做不是不可以,但是整个过程计算量就增大了,所以我们在解题过程中需要边做边思考。

由于已经得出了sinα+cosα=3/4,那么我们能不能直接变换出sinαcosα的形式呢?当然可以,那就是将上式两边同时平方,并结合同角三角函数的平方关系就可以得到1+2sinαcosα=9/16,则sin2α=2sinαcosα=-7/16。

另外,第三小问还可以这样做。由f(α)=3/4可得,f(α)=√2sin(α+π/4)=3/4,所以由二倍角公式可得,cos(2α+π/2)=1-2[sin(α+π/2)]^2=1-(3/4)^2=7/16。再根据诱导公式可知,sin2α=-cos(2α+π/2)=-7/16。

这道题考查的都是三角函数的基础知识,难度不大。即使对于现在的学生来说,如果想考上大学,这类题也是必须掌握的。那么,你会做吗?

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